Métodos numéricos - Viernes 8, febrero 2019
Apunte
Métodos abiertos.
Se basan en formulas que requieren de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran la raíz. Estos algunas veces divergen, a medida que se avanza en el cálculo. Sin embargo, cuando convergen en general lo hacen mucho mas rápido que los métodos cerrados.
Iteración de punto fijo.
Sea una ecuación $f(x) = 0$.
Se arregla la ecuación de manera que $x = g(x)$.
Ejemplo. $x^2 - 2x + 9 = 0$
$x = \frac{x^2 + 9}{2}$
$\sin{(x)^2} + 1 = 0$
$\sin{(x)^2} + 1 + x = x$
$g(x) => \sin{(x)^2} + 1 + x$
Congruencia
La ecuación iterativa es:
La solución verdadera es:
Al restar las ecuaciones se tiene
1)
Del teorema fundamental del cálculo
Si $a = X_i$ y $b=X_r$, etonces
Sustituyendo esto en la ecuación 1)
$E_{t, i} = (X_r -X_i)$
$E_{t, i+1} = E_{t, i} * g’(c)$
Para que el método converja, se dbe cumplir $|g’(x)|<1$
Ejercicio.
Localice la raíz de:
$f(x) = 2 \sin{(\sqrt{x})} - x$
Haga una elección inicial de $X_0 = 0.5$ e itere hasta que $E_a < 0.01$%.
$2\sin{\sqrt{x}} = 0$
$x = 2\sin{\sqrt{x}}$ -> $X_{i+1}=\sin{\sqrt{X_i}}$
$X_{i+1} = g(x_i)$
| N° | $X_i$ | $E_a$(%) | Operacion para $X_i$ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.5 | - | $X_0$ = 0.5 |
| 1 | 1.299274 | 61.52 | $X_1$ = $2\sin{\sqrt{0.5}} = 1.299274$ |
| 2 | 1.817148 | 28.50 | $X_2 = 2\sin{\sqrt{1.299274}} = 1.187148$ |
| 3 | 1.9550574 | 6.48 | $X_3 = 2\sin{\sqrt{1.187148}} = 1.9550574$ |
| 4 | 1.969743 | 0.97 | $X_4 = 2\sin{\sqrt{1.955074}} = 1.969743$ |
| 5 | 1.972069 | 0.11 | $X_5 = 2\sin{\sqrt{1.969743}} = 1.972069$ |
| 6 | 1.972344 | 0.013 | $X_6 = 2\sin{\sqrt{1.972069}} = 1.972344$ |
| 7 | 1.972377 | 0.0016 | $X_7 = 2\sin{\sqrt{1.972344}} = 1.972377$ |
Ejercicio 4.
Determina la raíz real más grande de $f(x) = 2x^3 - 11.7x^2 + 17.7x -5$ con el método de punto fijo.
$x = \frac{-2x^3 + 11.7x^2 + 5}{17.7}$
$x = g(x)$
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1NfFXnyah1tTMkC2kdGf5kdm6FiiP04M-iub4Fxgvojg/edit#gid=0
Lunes 11, febrero 2019
Método de Newton-Raphson
Se deduce a partir de la interpretación geométrica de la derivada.
Nota: el error es proporcional al cuadrado del error anterior. Esto significa que el número de cifras decimales correctas aproximadamente se duplica en cada iteración. A este comportamiento se le llama convergencia cuadrática.
Ejercicio 5. Utilice el método de Newton-Raphson para determinar las raices de $2x \cos{2x} - (x-2)^2 = 0$, en $2 <= x <= 3$ y $3 <= x <= 4$ hasta que $E_a < 0.01$%
$f(x) = 2x\cos{2x} - (x-2)^2$
$f’(x) = -4x\sin{2x} + 2\cos{2x} -2(x-2)$
$X_{i+1} = X_i - \frac{2x \cos2x - (x-2)^2}{-4x \sin{2x} + 2\cos{2x} 2(x-2)}$
| N° | $X_i$ | $E_a$ % |
| :- | :—- | :—— |
| 00 | 2 | - |
| 01 | 2.550769 | 21.59 |
| 02 | 2.371359 | 7.57 |
| 03 | 2.370587 | 0.0283 |
| 04 | 2.370686 | 0.00004 |
| N° | $X_i$ | $E_a$ % |
|---|---|---|
| 00 | 4 | - |
| 01 | 3.743349 | 6.85 |
| 02 | 3.722390 | 0.56 |
| 03 | 3.722113 | 0.0074420 |
Método de la secante
La derivada se puede aproximar mediante una diferencia finita hacia atrás.
$f’(x_i) =~ \frac{f(x_{i+1}) - f(x)}{x_{i+1}-x_i}$
Al sustituir en al formula de Newton Newton Raphson:
| N° | $X_{i-1}$ | $X_i$ | $f(X_{i-1})$ | $f(x_i)$ | $E_a$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 00 | 2 | 3 | -2.614574 | 4.761022 | - |
| 01 | 3 | 2.354490 | 4.761022 | -0.141717 | 27.416133 |
| 02 | 2.354490 | 2.373149 | -0.141717 | 0.021669 | 0.786249 |
| 03 | 2.373149 | 2.370674 | 0.021669 | -0.000113 | 0.104387 |
| 04 | 2.370674 | 2.370687 | -0.000113 | 0.0000007 | 0.000540 |