Unidad 2

Lunes 18, febrero 2019
Apunte

Método de solución de sistemas de ecuaciones

Método de Jacobi

Sea un sistema de ecuaciones: $\{A\}\{X\} = \{B\}$

Si los elementos de la diagonal no son todos cero, se resuelven las ecuaciones como sigue:

Para un sistema 3x3
$a_{11}X_1 + a_{12}X_2 + a_{13}X_3 = b_1$
$a_{21}X_1 + a_{22}X_2 + a_{23}X_3 = b_2$
$a_{31}X_1 + a_{32}X_2 + a_{33}X_3 = b_3$

la primera ecuación para $X_1$
$X_1 = \frac{b_1 - a_{12}X_2 - a_{13}X_3}{a_{11}}$
la segunda ecuación para $X_2$
$X_2 = \frac{b_2 - a_{21}X_1 - a_{23}X_3}{a_{22}}$
la tercer ecuación para $X_3$
$X_3 = \frac{b_3 - a_{31}X_1 - a_{33}X_2}{a-{33}}$

Se eligen valores iniciales para las X. Lo mas simple es suponer que todas las X son cero.
Se calculan las nuevas $x$ y se sustituyen en la siguiente iteración.

Criterio de paro

$|\epsilon_{a,i}| = |\frac{X^i_k - X^{i-1}_k}{X^i_k}|* 100 \% < \epsilon_s$ para todas las $k$ donde $i$ e $i-1$ son las iteraciones actuales y previas respectivamente.
Ejemplo. Resuelve el sistema por el método de Jacobi, hasta que el error relativo porcentual este por debajo de 5%.

para todas las $k$ donde $i$ e $i-1​$ son las iteraciones actuales y previas respectivamente.
Ejemplo. Resuelve el sistema por el método de Jacobi, hasta que el error relativo porcentual este por debajo de 5%. $10X_1 + 2X_2 - X_3 = 27$

$$-3X_1 - 6X_2 + 2X_3 = -61.5$$

$X_1 + X_2 + 5X_3 = -21.5$ Despejando
$X_1 = (27 - 2X_2 + X_3) / 10$

$$X_2 = (-61.5 + 3X_1 - 2X_3) / (-6)$$ $$X_3 = (-21.5 - X_1 - X_2) / 5$$

N°	$X_1$	$X_2$	$X_3$	$\epsilon_a$
00	0	0	0	-
01	2.7	10.25	-4.3	100
02	0.22	7.466666	-6.89	1127.27
03	0.517667	7.843333	-5.837333	135.3031
04	0.547600	8.045389	-5.9722	5.4621
05	0.493702	7.985467	-6.018597	10.91
06	0.501046	7.996950	-5.995834	1.4657
07	0.501027	8.000865	-5.999599	0.003792

Miércoles 20, febrero 2019

Ejercicio 6.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con el método de Jacobi para $\epsilon = 5 \%$

$15c_1 - c_2 - c_3 = 3300$

$-3c_1 + 18c_2 -6c_3 = 1200​$

$-4c_1 - c_2 + 12c_3 = 2400$

Despejando $c_1 = \frac{3300 + c_2 + c_3}{15}$

$$c_2 = \frac{1200 + 3c_1 + 6c_3}{18}$$ $$c_3 = \frac{2400 + 4c_1 + c_2}{12}$$

N°	$c_1$	$c_2$	$c_3$	$\epsilon_a$
0	0	0	0	-
1	220	66.666666	200	100
2	237.777777	170	278.888888	7.476635
3	249.925925	199.259259	293.425925	4.860699