Métodos numericos - Viernes 22, febrero 2019

Método de Gauss - Seidel

Conforme un nuevo valor de $x$ se calcula, este se usa inmediatamente en la siguiente ecuación para determinar el otro valor de $x$. De esta forma, si la solución es convergente, se empleara la mejor aproximación disponible.

 Ejemplo. $15c_1 - 3c_2 - c_3 = 3300$

$$-3c_1 + 18c_2 -6c_3 = 1200$$ $$-4c_1 - c_2 + 12c_3 = 2400$$

Despejando: $c_1 = \frac{3300 + 3c_2 + c_3}{15}$

$$c_2 = \frac{1200 + 3c_1 + 6c_3}{18}$$ $$c_3 = \frac{2400 + 4c_1 + c_2}{12}$$

$i$	$C_1$	$C_2$	$C_3$	$\epsilon_a C_1(\%)$
0	0	0	0	-
1	220	103.333333	281.944444	100
2	259.462962	203.891975	303.478652	15.20
3	281.010305	214.661268	311.558541	2.22
4	283.702823	217.803318	312.717884	0.95
5	284.408523	218.307382	312.995123	0.2

Lunes 25, febrero 2019

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1NfFXnyah1tTMkC2kdGf5kdm6FiiP04M-iub4Fxgvojg/edit#gid=1597546790

Relajación

Es una ligera modificación al método de Gauss-Seidel para mejorar la convergencia. Después de que se calcula cada nuevo valor de $x$, ese valor se modifica mediante un promedio ponderado de los resultados de las iteraciones anterior y actual: $X_i^{nuevo} = \lambda X_i^{nuevo} + (1 - \lambda) X_i^{anterior}$ Donde $\lambda$ es un factor ponderado con un valor entre 0 y 2.

Si a $\lambda$ se le asigna un valor entre 0 y 1 el resultado es un promedio ponderado de los resultados actuales y anteriores. Esta modificación se conoce como sub-relajación. Se emplea comúnmente para hacer que un sistema no convergente, converja o apresure la convergencia al amortiguar sus oscilaciones.

Para valores $\lambda​$ de 1 a 2, se le da una ponderación extra al valor actual. Con esto se pretende mejorar la aproximación al llevarla mas cerca de la solución verdadera. A esta modificación se le llama sobre-relajación, y permite acelerar la convergencia de un sistema que ya es convergente.

La elección de un valor adecuado de $\lambda$ es especificado por el problema y se determina en forma empírica.

N°	$X_1$	$X_2$	$X_3$	$\epsilon_a$
0	0	0	0	-

Miércoles 27, febrero 2019

Ejercicio 6.

Use el método de Gauss-Seidel para

a) sin relajación

b) con relajación($\lambda = 1.2$)

para resolver el siguiente sistema para una tolerancia de $\epsilon_a = 5\%$. Si es necesario, reacomode las ecuaciones para lograr convergencia. $2x_1 - 6x_2 - x_3 = - 38$

$$-3x_1 -x_2 + 7x_3 = -34$$ $$-8x_1 + x_2 - 2x_3 = -20$$

Reacomodando las ecuaciones: $-8x_1 + x_2 - 2x_3 = -20$

$$2x_1 - 6x_2 - x_3 = - 38$$ $$-3x_1 -x_2 + 7x_3 = -34$$

Tras despejar las ecuaciones: $X_1 = \frac{-20 - X_2 + 2X_3}{-8}$

$$X_2 = \frac{-38 -2X_1 + X_3}{-6}$$ $$X_3 = \frac{-34 + 3X_1 + X_2}{7}$$

Aplicando sobre - relajación

N°	$X_1$	$X_1$ R	$X_2$	$X_2$ R	$X_3$	$X_3$ R	$\epsilon_a$
0	0	0	0	0	0	0	-
1	2.5	3	7.333333	8.80	-2.314286	-2.777193	100
2	4.294286	4.553143	8.313905	8.216686	-1.731984	-1.5222952	43.11
3	3.907824	3.778760	7.846745	7.772757	-2.127281	-2.248146	20.49
4	4.033631	4.084605	8.069560	8.128920	-1.945323	-1.884759	7.48
5	3.987305	3.967845	7.970075	7.938396	-2.022594	-2.050161	2.94

Sin relajación

N°	$X_1$	$X_2$	$X_3$	$\epsilon_a$
0	0	0	0	-
1	2.5	7.166667	-2.761905	100
2	4.086310	8.155754	-1.940760	38
3	4.004659	7.991680	-1.999192	2.03
4	3.998758	7.999451	-2.000611	0.14
5	4.000084	8.000130	-1.999945	0.033