Métodos Numéricos - Lunes 04, febrero 2019

Sistemas de ecuaciones no lineales

Un sistema de ecuaciones no lineales tiene la forma: $f_1 (x_1, x_2, ..., x_n) = 0$

$$f_2 (x_1, x_2, ..., x_n) = 0$$ $$f_n (x_1, x_2, ..., x_n) = 0$$

Donde podemos considerar a toda función $f_i$ como un mapeo del vector

$X = (x_1, x_2, …, x_n)$ del espacio n-dimensional $\R^n$ en la recta real $\R$.

Este sistema de $n$ ecuaciones no lineales con $n$ incógnitas puede representarse también mediante la definición de la función $F$, mapeando $\R^n$ en $\R^n$ por medio de: $F:\R^n -> \R^n$ $F (x_1, x_2, ..., x_n) = (f_1(x_1, x_2, ..., x_n),\space f_2(x_1, x_2, ..., x_n), ..., f_n(x_1, x_2, ..., x_n))$ En notación vectorial esto es: $F(x) = 0$ Las funciones $f_1, f_2, …, f_n$ son las funciones coordenadas de $F$.

Por ejemplo, el sistema $5x_1^2 - x_1^2 = 0$

$$x_2 - 0.25(\sin{x-1} + \cos{x_2}) = 0$$

Nota, se trata de un sistema de 2 x 2.Este sistema puede expresarse como: $f_1 (x_1, x_2)= 5x_1^2 - x_2^2 = 0$

$$f_2(x_1, x_2) = x_2 - 0.25(\sin{x_1} + \cos{x_2} = 0)$$ $$F(x_1, x_2) = [5x_1^2 - x_2^2, x_2 - 0.25(\sin{x_1} + \cos_{x_2})]$$

Puntos fijos para funciones de varias variables

Dado un sistema no lineal de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas $F(x) = 0$, el método de punto fijo para este sistema consiste en transformar dicho sistema en otro equivalente del tipo $x = G(x)$.

Ejemplo

Se resuelve la primera ecuación para una variable, despejando una incógnita ($x_1$). $5x_1^2 - x_2^2 = 0 \space \space \space x_1 = \sqrt{\frac{x_2^2}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}x_2$ Se procede con la siguiente ecuación $x_2 - 0.25(\sin{x_1} + \cos{x_2} = 0) \space \space \space x_2 = 0.25(\sin{x_1} + \cos{x_2})$

N°	$x_1$	$x_2$	$\epsilon_a x_1 (\%)$
0	0.1	0.1	-
1	0.044712	0.273709	123.60
2	0.122407	0.251870	62.47
3	0.112640	0.272637	8.67
4	0.121927	0.268867	7.61
5	0.120241	0.271424	1.40
6	0.121385	0.270835	0.94

Una forma de acelerar la convergencia consiste en usar las estimaciones mas recientes, igual que en el método de Gauss-Seidel para los sistemas lineales.

Ejercicio 9. Resolver el sistema anterior por medio de Gauss-Seidel.

N°	$x_1$	$x_2$	$\epsilon_a x_1 (\%)$
0	0.1	0.1	-
1	0.044721	0.259928	123.60
2	0.116243	0.270598	61.52
3	0.121015	0.271083	3.94
4	0.121232	0.271104	0.1789

Lunes 11, marzo 2019

Ejercicio 10. Resuelva el sistema de ecuaciones no lineales. $3X_1 - \cos{x_2 x_3} - \frac{1}{2} = 0$

$$x_1^2 - 81 (x_2+ 0.1)^2 + \sin{x_3} + 1.06 = 0$$ $$e^{-x_1 x_2} +20x_3+ \frac{10 \pi - 3}{3} = 0$$

Use el vector inicial $x = (0.1, 0.1, -0.1)$ con 5 iteraciones (Jacobi). Repita el ejercicio usando convergencia acelerada (Gauss-Seidel). $x_1 = \frac{\frac{1}{2} + \cos{x_2 x_3}}{3}$

$$x_2 =\sqrt{\frac{-x_1^2 - \sin{x_3} - 1.06}{-81}} - 0.1$$ $$x_3 = \frac{-e^{-x_1 x_2} - \frac{10 \pi - 3}{3}}{20}$$

Método de Jacobi

N°	$X_1$	$X_2$	$X_3$	$\epsilon_a\space de\space X_1$
0	0.1	0.1	-0.1	-
1	0.499983	0.009441	-0.523101	79.99
2	0.499996	0.000026	-0.523363	0.002
3	0.5	0.000012	-0.523598	0.0008
4	0.5	0.000000	-0.523598	0.000000
5	0.5	0.000000	-0.523599	0.000000

Método de Gauss-Seidel

N°	$X_1$	$X_2$	$X_3$	$\epsilon_a\space de\space X_1$
0	0.1	0.1	-0.1	-
1	0.499983	0.022230	-0.523046	79.99
2	0.499999	0.022231	-0.523046	0.003235
3	0.499977	0.000028	-0.523598	0.004307
4	0.5	0.000000	-0.523599	0.004600
5	0.5	0.000000	-0.523599	0.000000

Método de Newton

Se define la matriz Jacobiana $J(x)$ como $J(x) = \left(\begin{array}{cc} \frac{\part{f_1}}{\part{x_1}}(x) & \frac{\part{f_1}}{\part{x_2}}(x) & \frac{\part{f_1}}{\part{x_3}}(x) \\ \frac{\part{f_2}}{\part{x_1}}(x) & \frac{\part{f_2}}{\part{x_2}}(x) & \frac{\part{f_2}}{\part{x_3}}(x) \\ \frac{\part{f_3}}{\part{x_1}}(x) & \frac{\part{f_3}}{\part{x_2}}(x) & \frac{\part{f_3}}{\part{x_3}}(x) \end{array}\right)$ Por ejemplo, para el sistema anterior se tiene: $f_1 = 3x_1 - cos(x_2 x_1) - \frac{1}{2} \\ f_2 = x_1^2 - 81(x_2 + 0.1)^2 + \sin{x_3} + 1.06 \\ f_3 = e^{-x_1 x_2} + 20x_3 + \frac{10\pi + 3}{3}$

$$\frac{\part{f_1}}{\part{x_1}} = 3 \space\space\space \frac{\part{f_1}}{\part{x_2}} = x_3\sin{x_2 x_3} \space\space\space \frac{\part{f_1}}{\part{x_3}} = x_2\sin{x_2 x_3}\\ \frac{\part{f_2}}{\part{x_1}} = 2x_1 \space\space\space \frac{\part{f_2}}{\part{x_2}} = -162(x_2 + 0.1) \space\space\space \frac{\part{f_2}}{\part{x_3}} = \cos{x_3}\\ \frac{\part{f_3}}{\part{x_1}} = -x_2 e^{-x_1x_2} \space\space\space \frac{\part{f_3}}{\part{x_2}} = -x_1 e^{-x_1x_2} \space\space\space \frac{\part{f_3}}{\part{x_3}} = 20$$

Obtenemos $J = \left(\begin{array}{cc} 3 & x_3\sin{x_2x_3} & x_2\sin{x_2x_3}\\ 2x_1 & -162(x_2 + 0.1) & \cos{x_3}\\ -x_2e^{-x_1x_2} & -x_1e^{-x_1x_2} & 20 \end{array}\right)$