Lunes 11, marzo 2019

Método de Newton-Rapson para sistemas de ecuaciones no lineales

Se define la matriz Jacobiana $J(x)$ como $J(x) = \left(\begin{array}{cc} \frac{\part{f_1}}{\part{x_1}}(x) & \frac{\part{f_1}}{\part{x_2}}(x) & \frac{\part{f_1}}{\part{x_3}}(x) \\ \frac{\part{f_2}}{\part{x_1}}(x) & \frac{\part{f_2}}{\part{x_2}}(x) & \frac{\part{f_2}}{\part{x_3}}(x) \\ \frac{\part{f_3}}{\part{x_1}}(x) & \frac{\part{f_3}}{\part{x_2}}(x) & \frac{\part{f_3}}{\part{x_3}}(x) \end{array}\right)$ Por ejemplo, para el sistema anterior se tiene: $f_1 = 3x_1 - cos(x_2 x_1) - \frac{1}{2} \\ f_2 = x^2_1 - 81(x_2 + 0.1)^2 + \sin{x_3} + 1.06\\ f_3 = e^{-x_1x_2} + 20x_3 + \frac{10 \pi - 3}{3}$

$$\frac{\part{f_1}}{\part{x_1}} = 3 \ \ \ \frac{\part{f_1}}{\part{x_2}} = x_3\sin{x_2x_3} \ \ \ \frac{\part{f_1}}{\part{x_3}} = x_2 \sin{x_2x_3} \\ \frac{\part{f_2}}{\part{x_1}} = 2x_1 \ \ \ \frac{\part{f_2}}{\part{x_2}} = -162(x_2 + 0.1) \ \ \ \frac{\part{f_2}}{\part{x_3}} = \cos{x_3} \\ \frac{\part{f_3}}{\part{x_1}} = -x_2 e^{-x_1x_2} \ \ \ \frac{\part{f_3}}{\part{x_2}} = -x_1 e^{-x_1x_2} \ \ \ \frac{\part{f_3}}{\part{x_3}} = 20$$

Obtenemos $J = \left(\begin{array}{cc} 3 & x_3\sin{x_2x_3} & x_2\sin{x_2x_3}\\ 2x_1 & -162(x_2+0.1) & \cos{x_3}\\ -x_2e^{-x_1x_2} & -x_1e^{-x_1x_2} & 20\\ \end{array}\right)$ Se obtiene el sistema: $[J(x) \ Y(x)] = -F(x)$ Ejercicio 11.

Para obtener el vector Y se debe despejar, siendo así que $J(x)$ pasa a ser su matriz inversa. (Si la matriz Jacobiana tiene inversa o el determinante es distinto de 0, entonces el sistema SI tiene solución). $\begin{bmatrix} 3 & x_3\sin{x_2x_3} & x_2\sin{x_2x_3}\\ 2x_1 & -162(x_2+0.1) & \cos{x_3}\\ -x_2e^{-x_1x_2} & -x_1e^{-x_1x_2} & 20\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y_1\\ Y_2 \\ Y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x_1 - cos(x_2 x_1) - \frac{1}{2} \\ x^2_1 - 81(x_2 + 0.1)^2 + \sin{x_3} + 1.06\\ e^{-x_1x_2} + 20x_3 + \frac{10 \pi - 3}{3}\\ \end{bmatrix}$

Se hace uso del vector incial $X = [\ 0.1, 0.1, -0.1\ ]$

Primera iteración: $\begin{bmatrix} 3 & 0.001 & 0.001\\ 0.2 & -32.4 & 0. 995004\\ -0.099005 & -0.099005 & 20\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y_1\\ Y_2 \\ Y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.199950\\ 2.269833\\ -8.462025 \end{bmatrix}$ Se obtienen los valores 1.199950, 2.269833, -8.462025 como los resultados de la primer iteración. Al solucionar el sistema se obtiene que $Y_1 = 0.39987$, $Y_2 = -0.08053$, $Y_3 = -0.42152$. Se procede a actualizar los valores de $X$

$X_1 = X_1 + Y_1 \ \rightarrow \ 0.1 + 0.39987 = 0.49987\ X_2 = X_2 + Y_2 \ \rightarrow 0.1 + -0.08054 = 0.019467 \ X_3 = X_3+ Y_3 \ \rightarrow -0.1 + -0.42152 = -0.52152$

El proceso puede resumirse en despeje, sustitución del vector en la matriz, creación del sistema, actualización de vector.

Viernes 25, marzo 2019

Ejercicio 12.

Resolver el sistema de ecuaciones no lineales: $[x_1 + \cos{x_1x_2x_3} - 1]^{1/2} = 0\\ (1-x_1)^{1/4} + x_2 + x_3 (0.05x_3 - 0.15) = 1 \\ 1 + x_1^2 + 0.1 x_2^2 - 0.01x_2 - x_3 = 1$