Regla de Simpson

La regla de Simpson o también llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral: $\int^{b}_a f(x) dx = \frac{b-a}{6} \left[ f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) +f(b)\right]$

En integración numérica, una forma de aproximar una integral definida en un intervalo [a,b] es mediante la regla del trapecio, es decir, que sobre cada subintervalo en el que se divide [a,b] se aproxima f por un polinomio de primer grado, para luego calcular la integral como suma de las áreas de los trapecios formados en esos subintervalos . El método utilizado para la regla de Simpson sigue la misma filosofía, pero aproximando los subintervalos de f mediante polinomios de segundo grado.

Regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple $I \sim (b-a)\frac{f(x_0) + 4 \sum^{n-1}_{i=1,3,5}f(x_1) + 2\sum^{n-2}_{j=2,4,6}f(x_j)+ f(x_b)}{3n}$

Derivación

$$\int^{b}_a f(x)dx \sim \frac{b-a}{6}[f(a) + 4f(m + f(b))]$$

Regla 3/8

$$I = (b-a)\frac{f(x_0) + 3(f(x_1)) + 3(f(x_2)) + f(x_4)}{8}$$ $$I = \int^b_a f(x)dx \sim \int^b_aP_3 (x)dx \sim \frac{3h}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + f(x_3)\right] = \frac{3h}{8} \left[ f(a) + 3f(\frac{2a+b}{3}) + 3f(\frac{a+2b}{3}) + f(b) \right]$$

Error $E(f) = \frac{3}{80}h^5 f^{(4)} (\zeta)$

04-05-19

La velocidad con la que cae un objeto se calcula con: $v(t) = \sqrt{\frac{gm}{c_d}} \tan{h}(\sqrt{\frac{gC_d}{m}}t)$ donde $C_d =$ coeficiente de arrastre de segundo de orden.

Si $g = 9.8 \ ^m/s^{2}$, $m = 68.1$kg, y $C_d = 0.25 \ ^{kg}/m$, determine que tan lejos cae el objeto en 10 segundos:

​ a) con la regla del trapecio de aplicación múltiple

​ b) con la regla del trapecio de aplicación múltiple $v(t) = \sqrt{\frac{(9.81)(68.1)}{0.25}} \tan{h(\sqrt{\frac{(9.81)(0.25)}{68.1}}t)}\\ v(t) = 51.693752 \tanh{(0.189771t)}\\ d = \int^{10}_0{51.693752\tanh{(0.189771t)}dt} =$