Diferenciación Numérica

Serie de Taylor

$$V(t_{i+1}) = v(t_i) + v'(t_i)(t_{i+1} - t_i) + \frac{v''(t_i)}{2!}(t_{i+1-t_i})^2 + ... + R_n$$

Tras truncar: $v(t_{i+1}) = v(t_i) + v'(t_i)(t_{i+1}-t_i)+R_i$ Al despejar el término deseado: $v'(t_i) = \frac{v(t_{i+1}-v(t_i))}{t_{i+1}-t_i}- \frac{R_i}{t_{i+1}-t_i}$ $v’(t_i)$ = aproximación del primer valor - error de truncamiento

Diferencias divididas finitas

Diferencias divididas

$$f'(x_i) = \frac{f(x_{i+1} - f(x_i))}{x_{i+1}-x_i} + O(x_{i+1}-x_i)$$

La notación $O$ permite conocer el orden del error que se obtiene. A mayor potencia en el error, mas pequeño se vuelve este. $f'(x_i) = \frac{\Delta f_i}{h} + O(h)$

Ejercicio.

Calcule la aproximación de la primera derivada de la función en el punto indicado.

$ f(x) = x\cos{x} - x^2 \sin{x}$ en $x = 3$

i	$x_i$	$f(x_i)$
1	2.8	-5.264530
2	2.9	-4.827866
3	3	-4.240058
4	3.1	-3.496909
5	3.2	-2.596792

Diferencias hacia adelante $f’(x_i) = \frac{x_{i+1} - x_i}{h}$ $f'(3) = \frac{-3.496909 - (-4.240058)}{0.1} = 7.431490$ Diferencias hacia atrás $f’(x_i) = \frac{x_{i-1} - x_i}{h}$ $f'(3) = \frac{-4.230058 - (-4.827866)}{0.1} = 5.878080$ Diferencias centradas $f’(x_i) = \frac{x_{i+1} - x_{i-1}}{h}$ $f'(3) = \frac{-3.496909 - (-4.827866)}{0.1} = 6.654785$ Derivada exacta $f'(x) = -x\sin{x}+\cos{x}-(x^2\cos{x} + 2\sin{x})\\ = -x \sin{x} + \cos{x} - x^2 \cos{x} - 2x\sin{x}\\ = \cos{x} - 3x\sin{x}-x^2 \cos{x}\\ f'(3) = 6.649860$

Ejercicio.

$f(x) = (\cos{3x})^2 -e^{2x}$ en $x= -2.3$ con h= 0.1

i	$x_i$	$f(x_i)$
1	-2.1	0.984722
2	-2.2	0.890665
3	-2.3	0.655356
4	-2.4	0.361862
5	-2.5	0.113418

• Diferencias hacia adelante $f’(x_i) = \frac{-f(x_{i+2}) + 4f(x_{i+1}) - 3f x_i}{2h}$ $f(-2.3) = \frac{-(0.984722) + 4(0.890665) - 3(0.655356)}{2(0.1)} = 3.059350$

• Diferencias hacia atrás $f’(x_i) = \frac{3f(x_i) - 4f(x_{i-1}) + f(x_{i-2})}{2h}$ $f(-2.3) = \frac{3(0.655356) - 4(0.361862) + (0.113418)}{2(0.1)} = 3.160190$

• Diferencias centralizadas $f’(x_i) = \frac{-f(x_{i+2}) + 8(x_{i+1}) - 8(x_{i-1}) + f(x_{i-2})}{12h}$ $f(-2.3) = \frac{-(0.984722) + 8(0.890665) - 8(0.361862) + (0.113418)}{12(0.1)} =2.799267$

• Derivada exacta $f'(x) = 2\cos{3x} (-3\sin{3x}) -2e^{2x}\\ = -6 \cos{3x} \sin{3x} - 2e^{2x}\\ f'(-2.3) = 2.810983$