Integración - Distribución normal de probabilidad 12/04

import math

miu, sigma, odds, pairs = 0, 1, 0, 0

intervalos = int(input('Número de intervalos para Simpson 1/3: '))
sup_lim = float(input('limite superior: '))
inf_lim = -3.4 #float(input('limite inferior: '))

intervalos_array, functions_array = [], []

h = (sup_lim - inf_lim)/(intervalos)
round(h, 6)
print(h)
b = 0
intervalos_array.append(inf_lim)
for a in range(0, intervalos-1):
    b = b + h
    data = inf_lim + b
    intervalos_array.append(data)
intervalos_array.append(sup_lim)

for z in range (0, intervalos+1):
    fun_value = ((1)/(sigma * (math.sqrt(2 * math.pi)))) * (math.e ** (-(intervalos_array[z]-miu)**2 / (2 * (sigma**2))) )
    functions_array.append(fun_value)

for d in range(1, intervalos):
    if d%2 != 0:
        odds = odds + functions_array[d]
    elif d%2 == 0:
        pairs =pairs + functions_array[d]

result = (sup_lim - inf_lim)*((functions_array[0] + (4*odds) + (2*pairs) + functions_array[intervalos])/(3*intervalos))
for h in range(intervalos+1):
    print("%i | %.6f | %.6f" % (h, intervalos_array[h], functions_array[h]))
print("%.6f" % (result))
complemento =  1 - result
print("%.6f" % (complemento))

Distribución Chi cuadrada

import math

v = int(input('Valor de "v": '))# grados de libertad (n-1)
x, odds, pairs = 0, 0, 0

intervalos =int(input('Número de intervalos para Simpson 1/3: '))
sup_lim = float(input('Límite superior: '))
inf_lim = float(input('Limite inferior: '))

intervalos_array, functions_array = [], []

h = (sup_lim - inf_lim) / intervalos
round(h, 6)
print(h)
b = 0
intervalos_array.append(inf_lim)
for a in range(0, intervalos-1):
    b = b + h
    data = inf_lim + b
    intervalos_array.append(data)
intervalos_array.append(sup_lim)

for c in range(0, intervalos+1):
    fun_value = ((1) / (2**(v/2) * math.gamma(v/2))) * (intervalos_array[c]**((v/2)-1)) * (math.e**(-intervalos_array[c]/2))
    functions_array.append(fun_value)

for d in range(1, intervalos):
    if d%2 != 0:
        odds = odds + functions_array[d]
    elif d%2 == 0:
        pairs =pairs + functions_array[d]

result = (sup_lim - inf_lim)*((functions_array[0] + (4*odds) + (2*pairs) + functions_array[intervalos])/ (3*intervalos))

for h in range(intervalos+1):
    print("%i | %.6f | %.6f" % (h, intervalos_array[h], functions_array[h]))
print("%.6f" % (result))

Series de Taylor diferenciación numérica I

Ejercicio.

Calcule la aproximación de la primera derivada de la función en el punto indicado.

$ f(x) = x\cos{x} - x^2 \sin{x}$ en $x = 3$

i	$x_i$	$f(x_i)$
1	2.8	-5.264530
2	2.9	-4.827866
3	3	-4.240058
4	3.1	-3.496909
5	3.2	-2.596792

Diferencias hacia adelante $f’(x_i) = \frac{x_{i+1} - x_i}{h}$ $f'(3) = \frac{-3.496909 - (-4.240058)}{0.1} = 7.431490$ Diferencias hacia atrás $f’(x_i) = \frac{x_{i-1} - x_i}{h}$ $f'(3) = \frac{-4.230058 - (-4.827866)}{0.1} = 5.878080$ Diferencias centradas $f’(x_i) = \frac{x_{i+1} - x_{i-1}}{h}$ $f'(3) = \frac{-3.496909 - (-4.827866)}{0.1} = 6.654785$ Derivada exacta $f'(x) = -x\sin{x}+\cos{x}-(x^2\cos{x} + 2\sin{x})\\ = -x \sin{x} + \cos{x} - x^2 \cos{x} - 2x\sin{x}\\ = \cos{x} - 3x\sin{x}-x^2 \cos{x}\\ f'(3) = 6.649860$

Series de Taylor diferenciación numérica II

Ejercicio.

$f(x) = (\cos{3x})^2 -e^{2x}$ en $x= -2.3$ con h= 0.1

i	$x_i$	$f(x_i)$
1	-2.1	0.984722
2	-2.2	0.890665
3	-2.3	0.655356
4	-2.4	0.361862
5	-2.5	0.113418

Diferencias hacia adelante $f’(x_i) = \frac{-f(x_{i+2}) + 4f(x_{i+1}) - 3f x_i}{2h}$ $f(-2.3) = \frac{-(0.984722) + 4(0.890665) - 3(0.655356)}{2(0.1)} = 3.059350$
Diferencias hacia atrás $f’(x_i) = \frac{3f(x_i) - 4f(x_{i-1}) + f(x_{i-2})}{2h}$ $f(-2.3) = \frac{3(0.655356) - 4(0.361862) + (0.113418)}{2(0.1)} = 3.160190$
Diferencias centralizadas $f’(x_i) = \frac{-f(x_{i+2}) + 8(x_{i+1}) - 8(x_{i-1}) + f(x_{i-2})}{12h}$ $f(-2.3) = \frac{-(0.984722) + 8(0.890665) - 8(0.361862) + (0.113418)}{12(0.1)} =2.799267$
Derivada exacta $f'(x) = 2\cos{3x} (-3\sin{3x}) -2e^{2x}\\ = -6 \cos{3x} \sin{3x} - 2e^{2x}\\ f'(-2.3) = 2.810983$

Derivación

I. Se dan los siguientes datos para la velocidad de un objeto como función del tiempo:

t, s	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
v, m/s	0	34.7	61.8	82.8	99.2	112.0	121.9	129.7	135.7	140.4

a) ¿Que tan lejos viajo el objeto desde t = 0 hasta t = 28? $(28-0) (\frac{0 + 4(34.7 + 82.8 + 112.0) + 2(61.8 + 99.2 121.9) + 129.7}{3(4)}) = 3764.88$

b) ¿Cual es la aceleración del objeto a t = 28s? $\frac{-(140.4) + 8(135.7) - 8(121.9) + 112}{12(4)} = 1.708333$

c) ¿Cual es la aceleración del objeto a t = 0s? $\frac{-(61.8) + 4(34.7) - 3(0)}{2(4)} = 9.625 m/s²$

II. Un avión es seguido por radar y se toman datos cada segundo en coordenadas polares $\theta$ y $r$

t,s	200	202	204	206	208	210
$\theta$, (rad)	0.75	0.72	0.70	0.68	0.67	0.66
r, m	5120	5370	5560	5800	6030	6240

A los 206 segundos utilice diferencias finitas centradass (correspondientes a segundo orden) para encontrar las expresiones vectoriales para la velocidad y la aceleración. La velocidad y aceleración en coordenadas polares son: $v = r'e_r + \theta'e_{\theta}\\ a = (r'' - r\theta^2)e_r + (r\theta'' + 2r'\theta')e_{\theta}$

$r' = \frac{6030-5560}{2(2)} = 117.5\\ \theta' = \frac{0.67-0.70}{2(2)} = -0.0075\\ r'' = \frac{6030 - 2(5800) + 5560}{(2)^2} = -2.50\\ \theta'' = \frac{0.67 - 2(0.68) + 0.70}{(2)^2} = 0.0025$

sustituyendo $v = r'e_r + r\theta'e_{\theta}\\ v = 117.5e_r + (5800)(-0.0075)e_{\theta}\\ v = 117.5e_r + - 43.5e_{\theta}\\ a = (r'' - r\theta^2)e_r + (r\theta'' + 2r'\theta')e_{\theta} a = -2.50 - 117.5(-0.0075)^2e_r + (117.5(0.0025)) a = -2.826250e_r + 12.7375e_{\theta}$

III. Los siguientes datos se obtuvieron al cargar un gran buque petrolero:

min	0	10	20	30	45	60	75
V, 10^6 barriles	0.4	0.7	0.77	0.88	1.05	1.17	1.35

Calcule la tasa de flujo $Q$ (es decir, $dV/dt$) para los incisos del tiempo indicados con un orden de $h^2$.

a) t = 0, V = 0.4 $\frac{-(0.77) + 4(0.7) - 3(0.4)}{2(10)} = 0.041500$ b) t = 30, V = 0.8 $\frac{-(1.17)+4(1.05) - 3(0.88)}{2(15)} = 0.013\\ \frac{3(0.88) - 4(0.77) + 0.7}{2(10)} = 0.013$ c) t = 75, V = 1.35 $\frac{3(1.35) - 4(1.17) + 1.05}{2(15)} = 0.014$