Unidad 5

Interpolación

Estimar valores intermedios con valores asociados con datos.

Interpolación polinomial

Polinomio de n-esímo grado: $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x²+ … + a_nx^n$.

Dados n + 1 puntos asociados con datos, hay uno y solo un polinomio de grado n que pasa a través de todos lo puntos.

Interpolación lineal

Unir dos puntos asociados con datos con una linea recta: $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}\\ f(x) = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 -x_0}(x - x_0)\\$

Interpolación cuadrática

Si se tienen 3 puntos asociados con datos, éstos pueden ajustarse en un polinomio de segundo grado.

Una forma conveniente es: $f_2(x) = b_0 + b_1(x - x_0) + b_2(x - x_0)(x - x_1)\\ = b_0 + b_1x - b_1x_0 + b_2(x2 - x_1x - x_0x + x_0x_1)\\ = b_0 + b_1x - b_1x_0 + b_2x2 - b_2x_1x - b_2x_0x + b_2 + b_2x_0x_1\\ =(b_0 - b_1x_0 + b_2x_0x_1) + (b_1 - b_2x_0 - b_2x_1)x + b_2x2$ donde $a = b_0 - b_1x_0 + b_2x_0x_1\\ a_1 = b_1 - b_2x_0 - b_2x_1\\ a_2 = b_2$ Si $x = x_0$ tenemos $b_0 = f(x_0)$ Si $x = x_1$ tenemos: $f(x_1) = b_1+ b_1(x_1 - x_0)\\ b_1 = \frac{f(x_1)-b_0}{x_1 - x_0}\\ b_1 = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$ Si $x = x_2$ tenemos: $f(x_2) = b_0 + b_1(x_2 - x_0) + b_2(x_2-x_0)(x_2-x_1)\\ b_2 = \frac{\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \frac{f(x_1 - f(x_0))}{x_1 - x_0}}{x_2 - x_0}$

Ejemplo

Ajuste polinomios de primer y segundo grado a los puntos:

N°	$X_n$	$f(x_n)$
1	1	$f(x_0) = 0$
2	4	$f(x_1) = 1.386294$
3	5	$f(x_2) = 1.609438$
4	6	$f(x_3) = 1.791759$

Evalúe ambos en x = 2 $f_1(x) = 0 + \frac{1.386294 - 0}{4 - 1}(x-1)\\ f_1(x) = 0.462098(x-1)\\ f_1(x) = 0.46209 (2-1) = 0.462098$ Para el polinomio de segundo grado: $b = 0\\ b_1 = \frac{1.386294 - 0}{4-1} = 0.462098\\ b_2 = \frac{\frac{1.386294 - 1.386394}{25 - 4} - \frac{1.386294 - 0}{4 - 1}}{5-1}$

$$f_2(x) = 0 + 0.462098(x_1) + (-0.059739) (x-1)(x-4)\\ f_2(x) = 0.462098(x_1) - 0.059730(x-1)(x-4)\\ f_2(x) = 0.462098(2_1) - 0.059739(2-1)(2-4) = 0.581576$$

Interpolación de Newton

i	$x_i$	$f(x_i)$	Primer	Segundo	Tercer
0	1	0	$\frac{1.386244 - 0}{4-1} = 0.462098$
1	4	1.386244	$\frac{1.609438 - 1.386244}{5-4} = 0.223144$	$\frac{0.223144 - 0.462098}{5 - 4} = -0.238954 $
2	5	1.609438	$\frac{1.791759 - 1.1609438}{6-5} = 0.182321$	$\frac{0.182332 - 0.223144}{6-5} = -0.040812$	$\frac{1.791759-1.609438}{6-5}=0.182321$
3	6	1.791759

Viernes 24, mayo 2019

Ejemplo 2

N°	Tiempo	f(T)	PRIMERO	SEGUNDO	TERCERO	CUARTO	QUINTO
1	10	5
			3
2	15	20		-0.34
			-0.4		0.05466666667
3	20	18		0.48		-0.002786666667
			4.4		-0.02893333333		-0.00009857142857
4	25	40		-0.2433333333		0.001156190476
			-0.4666666667		0.01153333333		0.00003784126984
5	40	33		0.1026666667		-0.0003574603175
			2.1		-0.0009777777778		0.00001155555556
6	50	54		0.07333333333		-0.0008196825397
			3.2		-0.02966666667
7	55	70		-0.52
			-2
8	60	60

Diferencias haca adelante $E_2 (t) = 18 + 4.4(t-20)-0.2433333(t-20)(t-25) = 50.36\\$ Diferencias hacia atrás $E_2 (t) = 33 - 0.466667(t-40) - 0.243333(t-40)(t-25) = 50.36$