Ejercicios Cuarto Parcial

Ejercicio 1

Ajuste polinomios de primer y segundo grado a los puntos:

N° $X_n$ $f(x_n)$
1 1 $f(x_0) = 0$
2 4 $f(x_1) = 1.386294$
3 5 $f(x_2) = 1.609438$
4 6 $f(x_3) = 1.791759$

Evalúe ambos en x = 2 Para el polinomio de segundo grado:

Interpolación de Newton

i $x_i$ $f(x_i)$ Primer Segundo Tercer
0 1 0 $\frac{1.386244 - 0}{4-1} = 0.462098$    
1 4 1.386244 $\frac{1.609438 - 1.386244}{5-4} = 0.223144$ $\frac{0.223144 - 0.462098}{5 - 4} = -0.238954 $  
2 5 1.609438 $\frac{1.791759 - 1.1609438}{6-5} = 0.182321$ $\frac{0.182332 - 0.223144}{6-5} = -0.040812$ $\frac{1.791759-1.609438}{6-5}=0.182321$
3 6 1.791759      

Ejercicio 2

Se realiza un experimento para definir la relación entre el esfuerzo aplicado y el tiempo para que se fracture cierto tipo de acero inoxidable. Se aplican 8 valores distintos de esfuerzo, y los datos resultantes son:

Esfuerzo aplicado, $kg/mm^2$ 5 10 15 20 25 30 35 40
Tiempo para la fractura $t$ 40 30 25 40 18 20 22 15

Estime el tiempo de fractura para un esfuerzo aplicado de:

Ejercicio 3

El volumen específico de un vapor sobrecalentamiento se enlista en tablas de vapor para distintas temperaturas. Por ejemplo, a una presión absoluta de 3000 $lb/in^2$ se tiene

T, °f 700 720 740 760 780
V, ft/lb 0.0977 0.12184 0.1406 0.15509 0.016643

Polinomio de segundo grado Con polinomio de 3er grado para T=750 (desde 720 hasta 780) = 0.14830875

Ejercicio 4

El número de habitantes (en miles) de una determinada ciudad ha evolucionado según la siguiente tabla:

Años 1987 1988 1989  
Población 53 71 91  

Sabiendo que dicha población se ajusta a una función cuadrática, calcularla población que tenía la ciudad en 1985.

Interpolación de Newton

i x f(x) Primero Segundo
0 1987 53    
      $f[x_1, x_0] = \frac{71 - 53}{1988 - 1987} = 18$  
1 1988 71   $f[x_2, x_1, x_0] = \frac{20-18}{1989 - 1987} = 1$
      $f[x_2, x_1] = \frac{91 - 71}{1989 - 1988} = 20$  
2 1989 91    

Interpolación de Lagrange

Primer grado: 17 Segundo grado : 23

Ejercicio 5

Resuelve la ecuación diferencial: desde $x = 0$ hasta $x=4$ con $h=0.5$

La condición inicial en $x=0$ es $y=1$

i $X_i$ $Y_i$ $f(X_i, Y_i)$
0 0 1 $f(x_i.y_i) = f(0, 1)= 8.5$
1 0.5 $Y_1 = 1 +8.5 * 0.5 = 5.25$ $f(x_i, y_i) = f(0.5, 5.25) = 1.25$
2 1 $Y_2 = 5.25 + 1.25 * 0.5 = 5.875$ $f(x_i, y_i) = f(1, 5.875) = -1.5$
3 1.5 $Y_3 = 5.875 - 1.5 * 0.5 = 5.125$ $f(x_i, y_i) = f(1.5, 5.129) = $-1.25
4 2 $Y_4 = 5.125 -1.25 * 0.5 = 4.5$ $f(x_i, Y_i) = f(2, 4.5)$ = 0.5

Ejercicios 6

Resuelve el PVI

$Y’ = 4e^{0.8x} - 0.5y$ en $[0, 4]$, con un tamaño de paso $h=0.5$, con condiciones iniciales de $x=0$, $y=2$

i $x_i$ $y_i$ $f(x_i,y_i)$ $y_i+1(0)$ $f(x_i+1,y_i+1(0))$ SOLUCION VERDADERA
0 0 2.000000 3.000000 3.500000 4.217299 2.000000
1 0.5 3.804325 4.065136 5.836893 5.983717 3.751521
2 1 6.316538 5.743895 9.188485 8.686225 6.194631
3 1.5 9.924068 8.318434 14.083285 12.770487 9.707042
4 2 15.196298 12.213981 21.303289 18.904580 14.843922
5 2.5 22.975938 18.068255 32.010066 28.087673 22.427014
6 3 34.514920 26.835245 47.932543 41.812316 33.677172
7 3.5 51.676811 39.940182 71.646901 62.306670 50.411772
8 4 77.238524 59.510859 106.993953 -49.496977 75.338963

Ejercicios 7

Resuelve el problema de valor inicial $\frac{dy}{dx} = 4e^{0.8x} - 0.5y$ en $[0,4]$ con valores iniciales para $x = 0$ y $y = 2$, con un tamaño de paso $h = 1$

i $x_i$ $y_i$ $k_1$ $k_2$ $k_3$ $k_4$
0 0 2 3.000000 4.217299 3.912974 5.945677
1 1 6.201037 5.801645 10.830056 9.572954 14.025653
2 2 16.306590 11.658835 25.641516 22.145845 32.019783
3 3 39.515480 24.334965 58.694846 50.104876 72.077683
4 4 91.850829 52.204706 132.341761 112.307497 161.238851
5 5 208.974508 113.905346 296.327138 250.721690 359.680825
6 6 470.255146 250.914097 661.360443 558.748857 801.331201

$Y_{0+1}= 2 + \frac{1}{6} (3 +2(4.127299) + 2(3.912974) + 5.945677)(1) = 6.201037$

Operaciones

Operaciones para primer “intervalo” Resultado de K
$K_1 = f(0,2) = 4e^{0.8(0)} - 0.5(2) = $ 3
$K_2 = f(0 + \frac{1}{2}(1), 2+\frac{1}{2}(3)(1) ) = f(0.5, 3.5) = 4e^{0.8(0.5)}-0.5(3.5) = $ 4.217299
$K_3 = f(0 + \frac{1}{2}(1), 2+\frac{1}{2}(4.217299)(1)) = f(0.5, 4.103650) = 4e^{0.8(0.5)}-0.5(4.183650) = $ 3.912974
$K_4 = f(0 + 1, 2 + 3.912974(1)) = f(1, 5.912974) = 4e^{0.8(1)}-0.5(5.912974) = $ 5.945677
   
   
   

Ejercicio 8

Si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea, entonces la velocidad $v$ de una masa $m$ que se deja caer desde cierta altura se determina por: Sea $v(0) = 0$, $k = 0.125$, $m = 5 slugs$ y $g = 32$ pies/$s^2$. Use el método de RK4 con $h = 1$ para aproximar la velocidad $v$(5).

$i$ $X_i$ $Y_i$ $K_1$ $K_2$ $K_3$ $K_4$
0 0 0 32.000000 25.600000 27.904000 12.534170
1 1 25.25702827 16.052063 4.305948 13.217294 -5.006837
2 2 32.93898006 4.875590 0.712095 4.286029 -2.642532
3 3 34.97719755 1.414891 0.165156 1.270303 -0.847033
4 4 35.55032704 0.404356 0.043959 0.365275 -0.248261
5 5 35.71275425 0.114980 0.012241 0.104050 -0.071086
6 6 35.7588334 0.032646 0.003455 0.029557 -0.020223
7 7 35.77190794 0.009265 0.000979 0.008390 -0.005743
8 8 35.77561787 0.002629 0.000278 0.002381 -0.001630

Solución analítica